rea_grupos

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Podríamos justificar el estudio de la teoría de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matemática como los grupos son para el álgebra. La unidad está dividida en tres módulos, el primero dedicado a la teoría de conjuntos, en el que se da una introducción muy general de los conceptos básicos del álgebra de conjuntos, utilizando una notación simbólica y una terminología precisa, con definiciones claras, realizando operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) indicando sus propiedades, utilizando representaciones gráficas como los diagramas de Venn para finalmente dar una sencilla idea de correspondencia o aplicación entre conjuntos como pares ordenados. El segundo módulo trata de las relaciones binarias en un conjunto y sus propiedades. En concreto se estudian las relaciones de orden y de equivalencia. Se estudiarán a fondo estas últimas introduciendo la noción de clase de equivalencia y el conjunto cociente que clasifica al conjunto en clases o partes. Y en el último módulo, que es el de mayor amplitud, vamos a estudiar ciertos objetos matemáticos llamados grupos, así como las relaciones entre estos objetos, llamadas homomorfismos. La teoría de grupos es una parte del álgebra abstracta que se centra en la estructura de las operaciones que se definen en conjuntos particulares. El origen de esta disciplina se debe a Evariste Galois (1811-1832) matemático francés que fue capaz de caracterizar una ecuación polinómica para que pueda ser resuelta por radicales, y gran parte de la disciplina se desarrolló con este objetivo. En la primera parte se da la definición axiomática de la estructura abstracta de grupo, se estudian las tablas de Cayley y las propiedades de elemento neutro y elemento simétrico. En una amplia parte de este módulo se dan ejemplos de conjuntos estructurados como grupos, conjuntos numéricos como los enteros y los enteros módulo p, el grupo de las permutaciones, de simetrías de figuras planas, funciones inversibles respecto de la composición, etc. En una segunda parte se pretende dar una visión general de los problemas elementales que generalmente se estudian en grupos. Se estudian los grupos abelianos y los grupos cíclicos, el orden del grupo, o sea la cantidad de elementos que posee y se introduce la noción de subgrupo y se demuestra un teorema de gran importancia dentro de la teoría de grupos finitos como es el teorema de Lagrange.

OBJETIVOS: Entender el lenguaje matemático de los símbolos más frecuentes. Expresar frases del lenguaje natural con lenguaje matemático y simbólico. Utilizar con soltura los conjuntos y los gráficos. Reconocer las propiedades que satisfacen las distintas operaciones entre conjuntos y saber utilizarlas para demostrar igualdades entre conjuntos. Conocer el concepto de correspondencia y saber calcular imagen, imagen inversa, dominio y codominio de una correspondencia. Saber cuándo una correspondencia entre dos conjuntos es una aplicación y saber clasificarla. Entender el concepto de relación binaria y saber determinar las propiedades que satisface. Distinguir entre relación de equivalencia y de orden. Saber calcular una clase de equivalencia y el conjunto cociente asociado a una relación de equivalencia. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura más simple en la que se insertan el resto de las estructuras algebraicas. Comprender la importancia de la construcción de las estructuras algebraicas en el marco del desarrollo de la ciencia matemática. Desarrollar procesos como el desarrollo del pensamiento conjetural, la generalización y la abstracción en el contexto algebraico. Reconocer y aplicar los conceptos, métodos y técnicas de la teoría de grupos dentro de la matemática y fuera de ella. Describir la estructura de subgrupos de grupos de permutaciones. Reconocer la estructura de grupo y de homomorfismo en diferentes contextos. Aplicar el teorema de Lagrange para calcular subgrupos de grupos finitos. Calcular el grupo de automorfismos de grupos finitos elementales.

CONOCIMIENTO PREVIO: Buen nivel en Matemáticas, especialmente del álgebra.

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argitaratzailea joaquinaguilar 27/11/2015 11:11
egilea joaquinaguilar 27/11/2015 11:11
egilea JOAQUÍN AGUILAR BARRIUSO 21/10/2015 12:10

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