Ecuaciones Exponenciales

Jose Llopis
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Ecuaciones Exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x. En esta sección, resolveremos ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos.

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Para ello, utilizaremos las propiedades de las potencias.


Ejemplo 1:

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

Escribimos 16 como una potencia de 2:

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Podemos reescribir la ecuación como

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Por tanto, igualando los exponentes,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Luego la solución de la ecuación exponencial es x = 2.


Ejemplo 2:

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

Aplicando las propiedades de las potencias,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

De este modo podemos extraer factor común:

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Es decir, la solución es x = 3.


Ejemplo 3:

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

Las bases de las exponenciales son distintas, pero ambas son potencias de 2. Operamos para tener potencias con la misma base:

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Aplicamos un cambio de variable:

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Substituimos en la ecuación y obtenemos la ecuación de segundo grado

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

cuyas soluciones son

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Por tanto,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

La segunda solución no es posible por ser negtiva. Por tanto,

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Es decir, debe cumplirse

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

La única solución de la ecuación exponencial es x = 3.


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